Правильно говорить «делать прививку». Выражение "ставить прививку" неверно и не используется в медицинской практике. Термин "прививка" подразумевает введение вакцины в организм человека, что обычно выполняется медицинским работником путем инъекции.
Выражение «ставить» можно применить к капельнице , она же система. Укол ,инъекция ,прививка ,вакцина- это все что делают, а не ставят …
Просто небольшой ликбез 👌🏻