Наперегонки или на перегонки
Правильно: «побежали наперегонки». Наречие «наперегонки» пишется слитно и означает «соревнуясь, стараясь обогнать друг друга».
Раздельное написание «на перегонки» в таком значении считается ошибкой. Сравните: «бежать наперегонки», «плыть наперегонки».
Культура речи