Чёрт-те чем или чёрти чем
Правильно — «чёрт-те чем»: занимается чёрт-те чем, чёрт-те что происходит, ушёл чёрт-те куда. Здесь «-те» — частица, поэтому она пишется через дефис.
Не путайте с «те» в значении «тебе»: вот те раз, вот те на, я те покажу. В таких случаях дефис не нужен, потому что это уже не частица, а разговорное сокращение местоимения.
Культура речи