Машут или махают
Обе формы существуют, но стилистически они не равны. Машут, маши, машите — традиционные формы глагола «махать», именно они считаются литературной нормой и лучше подходят для аккуратной письменной речи: дети машут руками, маши осторожнее, машите платком.
Махают, махай, махайте тоже встречаются и не воспринимаются как грубая ошибка, но чаще звучат разговорно. Поэтому в обычной речи можно услышать «они махают», а в нейтральном или более строгом тексте предпочтительнее выбрать «они машут».
Культура речи