Кашлянуть
Правильно: «кАшлянуть», «кАшлянул». Варианты с ударением на «у» литературной норме не соответствуют.
Ударение сохраняется и в других формах: «кАшляну», «кАшлянет», «кАшляни». Поэтому верно говорить именно «он громко кАшлянул».
Культура речи