Это слово решила обсудить только из-за произношения. Почему-то в русский язык оно вошло с произношением через «у». И это неправильно.
fur [fɜː ] - это мех животного
Например:
fur coat - меховое пальто, шуба
А вообще, если вы имеете в виду шерсть домашних животных и когда волосы летают по квартире 🤪, всегда можно сказать:
hair [heə] - волосы, шерсть
Даже и не обязательно слово «мех»❗