Как сказать «многоэтажка»? Надо исходить из слова «квартира». То есть многоэтажка - это «квартирный дом». Дом, в котором много квартир.
flat через [э] - квартира. Но вряд ли вы услышите где-нибудь это слово. Так говорят только британцы, а их очень мало.
apartment произносим через [эпа], ударение на [па] - квартира. Так говорит весь мир.
✔️apartments building - квартирное здание, многоэтажка
building через [би] - здание, строение (от слова to build через [би] - строить)
Есть небольшая вероятность, что вы услышите:
✔️block of flats - многоэтажка. Но это вряд ли.