Остаток или не хватило?
Все учебники учат нас воспринимать остаток от деления очень буквально — как то, что «осталось». Это абсолютно верное определение хорошо согласуется с нашими бытовыми представлениями: делим 14 конфет между 3 друзьями, каждому достанется по 4 конфеты, а 2 останутся — вот они, «лишние» конфеты, наш остаток.
Но что, если посмотреть на остаток с другой стороны? Может быть, это не «лишнее», а «недостающее»? И у нас не «осталось 2 конфеты», а нам «не хватило 1», чтобы раздать поровну?
Тогда, например:
• делим 28 на 5: неполное частное 5 и остаток 3, или не хватило 2, чтобы разделить без остатка и получить 6 в частном;
• делим 79 на 9: неполное частное 8 и остаток 7, или не хватало 2, чтобы разделить нацело и получить 9 в частном.
Получается, на остаток можно смотреть двояко:
1) Сколько осталось после деления на равные части (строго по определению).
2) Сколько не хватило, чтобы деление нацело состоялось.
Именно второй взгляд на остаток поможет нам решить достаточно сложную задачу:
«Задумано число меньше 40. При делении на 5 оно даёт остаток 3, а при делении на 6 — остаток 4. Какое число задумано?»
(Эту задачу в наш клуб прислала одна из подписчиц — спасибо!)
Решение
1) Посмотрим на остатки как на «недостачу»:
• Остаток 3 при делении на 5 означает, что не хватило 2, чтобы число разделилось на 5 нацело (5−3=2).
• Остаток 4 при делении на 6 означает, что не хватило 2, чтобы число разделилось на 6 нацело (6−4=2).
2) Если задуманному числу не хватает ровно 2, чтобы делиться и на 5, и на 6, то что будет, если мы эти 2 добавим? Полученное число будет делиться одновременно и на 5, и на 6 без остатка! Значит, это число — 5×6=30 (или 60, 90 и т. д.).
3) По условию наше число меньше 40, значит, нам подходит только число 30.
4) Значит, до прибавления числа 2 будет: 30 – 2 =28
Проверка
• 28:5=5 (остаток 3) — верно.
• 28:6=4 (остаток 4) — верно.
Замечание
Эту задачу можно было решить и традиционным способом, например, организованным перебором:
Шаг 1. Выпишем все числа, которые при делении на 5 дают остаток 3 и меньше 40. Это: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38.
Шаг 2. Проверим, какие из этих чисел дают остаток 4 при делении на 6. Подходит только 28:6=4 (остаток 4).
Задания на дом
Задача 1. Задумано число меньше 50. При делении на 4 оно дает остаток 1, а при делении на 5 дает остаток 2. Какое число задумано?
Задача 2. Задумано число меньше 60. При делении на 6 оно дает остаток 4, а при делении на 7 дает остаток 5. Какое число задумано?
Задача 3. Задумано число, которое меньше 60. Это число при делении на 3 дает остаток 1, при делении на 4 дает остаток 2, при делении на 5 дает остаток 3, на 6 дает остаток 4. Какое число задумано?
P.S.
Такой подход — видеть в остатке не только «лишнее», но и «недостающее», — может стать отличным инструментом для решения других нестандартных задач на делимость!
💬 Обсудить в чате
#PS_математика #PROсвет
