Образовано от той же основы, что и глагол клякати — «падать на колени, шататься», существовавший параллельно с формой клячити, к которой восходит клянчить.
Такое значение глагола вполне соотносится со значением существительного кляча как плохой, слабой, ни на что непригодной лошади, которая тащится, еле-еле ноги передвигая.
Грамотная речь | Саморазвитие